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Dio esiste poiché la matematica è coerente ed esiste anche il Diavolo perché non possiamo dimostrare la coerenza della matematica. [attribuita anche ad André Weil]
Di questi tempi l'angelo della topologia e il demone dell'algebra astratta lottano per l'anima di ogni singola disciplina della matematica.
I costrutti della mente matematica sono allo stesso tempo liberi e necessari. Il singolo matematico è libero di fare le sue definizioni e stabilire i propri assiomi come vuole. Ma poi bisogna vedere se riesce a interessare i suoi colleghi matematici ai costrutti della sua immaginazione. Non possiamo non sentire che certe strutture matematiche che si sono evolute attraverso gli sforzi combinati della comunità matematica portano il marchio di una necessità non affetta dagli accidenti della loro nascita storica. Chiunque guardi lo spettacolo dell'algebra moderna sarà colpito da questa complementarità di libertà e necessità.
.. i numeri non hanno né sostanza né significato né qualità. Non sono nient'altro che segni, e tutto quello che è in loro ce l'abbiamo messo noi con la semplice regola della successione diretta.
La logica è l'igiene che il matematico usa per far sì che le sue idee restino sane e robuste.
La nostra tassa federale sul reddito definisce la tassa y che si deve pagare in termini del reddito x; lo fa in un modo davvero goffo, appiccicando diverse funzioni lineari, ciascuna valida in un diverso intervallo del reddito. Un archeologo che tra cinquemila anni dissotterrerà alcuni dei nostri moduli delle tasse insieme a resti di lavori di ingegneria e libri di matematica, predaterà quei moduli di alcuni secoli, e li riterrà certamente precedenti a Galileo e Vieta.
La simmetria, a voler definire il suo significato più ampio o più specifico, è un'idea con la quale l'uomo ha tentato, attraverso tutte le epoche, di comprendere e creare ordine, bellezza e perfezione.
Nel mio lavoro ho sempre cercato di unire il vero con il bello e quando ho dovuto scegliere l'uno sull'altro, solitamente ho scelto il bello.
Non siamo molto soddisfatti quando siamo forzati ad accettare una verità matematica in virtù di una complicata catena di calcoli e conclusioni formali, che attraversiamo ciecamente, passo dopo passo, con l'impressione di tastare la strada.
Per quanto possano essere importanti i concetti generali e le proposizioni che ci ha regalato – in algebra forse più che in ogni altro campo – la passione laboriosa di oggi per l'assiomatizzazione e la generalizzazione, sono convinto, ciò nondimeno, che base e nucleo della matematica siano, in tutta la loro complessità, i problemi speciali, e che superarne le difficoltà richieda alla fin fine il maggior lavoro.
Senza i concetti, i metodi ed i risultati trovati e sviluppati a partire dalle precedenti generazioni fino ai tempi dell'antica Grecia non si possono capire né gli intenti né i successi della matematica degli ultimi 50 anni.
