Serie divergente

Citazioni sulla serie divergente, serie infinita non convergente né indeterminata.

• Ciò che rende le serie così affascinanti, così preziose, nonché oggetto di così tanto studio, è il caso in cui non si accumulano senza limiti, quando si sommano a qualcosa di finito. Come dicono i matematici, la serie converge in un particolare valore. Per esempio,
  $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+...$
  Qui il termine successivo è ${\frac {1}{16}}$, il successivo ${\frac {1}{32}}$, e così via. E la cosa curiosa, nota persino ai greci, è che se si sommano termini per sempre, ogni termine si riduce così rapidamente rispetto al precedente che la somma, anche dopo un numero infinito di termini, è un assolutamente maneggevole 2, valore nel quale si dice che la serie converge. Più termini vengono sommati, più ci si avvicina al 2.
  Ma il solo fatto che ogni termine successivo di una serie sia più piccolo del precedente non significa che converga. Per esempio,
  $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...$
  è in apparenza simile alla precedente serie convergente, ma non converge: si vada avanti quanto si vuole nella serie, ma mentre pensate che stia raggiungendo un certo valore, ulteriori termini vi portano oltre. Per esempio, la somma di questa serie è forse 2, come nella precedente? No: bastano quattro termini per superare questo risultato. Che sia 3? Qui ci vuole un po' più di tempo, ma già prima dell'undicesimo termine lo si è superato. Che sia 10? Dodicimilatrecentonovanta termini sommati superano 10. Si scopre, e può essere dimostrato, che, qualunque numero si scelga, vale la stessa affermazione: la somma della serie è infinita. Non converge. (Robert Kanigel)

• È un'onta che si osi fondare sulle serie divergenti una qualsiasi dimostrazione. Col loro mezzo si può dimostrare ciò che si vuole: esse sono la fonte di delusioni ed errori. (Niels Henrik Abel)

Voci correlate

• Serie convergente

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