Albert Einstein/Articoli scientifici

Articoli scientifici di Albert Einstein.

Citazioni in ordine temporale.

Annus Mirabilis Papers

Albert Einstein nel 1905, l'anno in cui pubblicò i cosiddetti Annus Mirabilis Papers sul giornale scientifico Annalen der Physik

Un punto di vista euristico relativo alla generazione e alla trasformazione della luce

Über einen die Erzugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik, XVII, 1905, pp. 132-148; traduzione di Giuseppe Longo in Opere scelte, parte seconda, pp. 118-135

Incipit

Fra le descrizioni teoriche che i fisici si sono formati dei gas e di altri corpi ponderabili, e la teoria di Maxwell dei processi elettromagnetici nel cosiddetto spazio vuoto, vi è una profonda differenza formale. Mentre, infatti, lo stato di un corpo si considera completamente determinato dalla posizione e dalla velocità di un numero finito, anche se grandissimo, di atomi e di elettroni, per la determinazione dello stato elettromagnetico di uno spazio si utilizzano funzioni spaziali continue, sicché a definire compiutamente un tale stato non può essere considerato sufficiente un numero finito di grandezze.

Citazioni

• Si deve tuttavia tener presente che le osservazioni ottiche si riferiscono a valori medi temporali, e non già a valori istantanei, e nonostante gli esperimenti abbiano pienamente confermato la teoria della diffrazione, della riflessione, della rifrazione, della dispersione e così via, è concepibile che una teoria della luce basata su funzioni spaziali continue porti a contraddizioni con l'esperienza se la si applica ai fenomeni della generazione e della trasformazione della luce. (pp. 118-119)
• Secondo l'ipotesi che sarà qui considerata, quando un raggio luminoso uscente da un punto si propaga, l'energia non si distribuisce in modo continuo in uno spazio via via più grande; essa consiste invece in un numero finito di quanti di energia, localizzati in punti dello spazio, i quali si muovono senza dividersi e possono essere assorbiti e generati solo nella loro interezza. (p. 119)
• In una regione dello spazio, chiusa da pareti perfettamente riflettenti, si trovi un certo numero di molecole di gas e di elettroni; supporremo che essi siano liberi di muoversi e che esercitino l'uno sull'altro forze conservative quando si avvicinano molto tra loro, cioè che possano entrare in collisione come molecole di un gas secondo la teoria cinetica dei gas. (p. 119)
• Adottando la concezione che la luce di eccitazione consista in quanti di energia ${R/N}{\beta \nu }$, la generazione di raggi catodici ad opera della luce può essere interpretata come segue. Sullo strato superficiale del corpo incidono quanti di energia, e la loro energia si trasforma, almeno in parte, in energia cinetica degli elettroni. La situazione più semplice si ha se un quanto di luce cede tutta la sua energia a un singolo elettrone; supporremo proprio questo, senza peraltro escludere che certi elettroni assorbano solo in parte l'energia dei quanti di luce. (p. 132)
• Se ogni quanto di energia della luce di eccitazione cede agli elettroni la propria energia indipendentemente da tutti gli altri, allora la distribuzione delle velocità degli elettroni, e cioè la qualità della radiazione catodica generata, sarà indipendente dall'intensità della luce di eccitazione; d'altra parte il numero degli elettroni che abbandonano il corpo sarà, a parità delle altre condizioni, proporzionale all'intensità della luce incidente. (p. 133)

Explicit

Se ciascun quanto di energia luminosa assorbito ionizza una molecola, fra la quantità di luce assorbita L e il numero j di grammomolecole da essa ionizzate deve sussistere la relazione

$j={\frac {L}{R\beta \nu }}$

Se la nostra interpretazione è conforme alla realtà, questa relazione deve valere per ogni gas (alla frequenza corrispondente) non manifesti alcun assorbimento percettibile non accompagnato da ionizzazione.

Berna, 17 marzo 1905

(Ricevuto il 18 marzo 1905)

Citazioni su Un punto di vista euristico relativo alla generazione e alla trasformazione della luce

• Il primo articolo ha per oggetto la radiazione e le proprietà energetiche della luce ed è decisamente rivoluzionario. (Albert Einstein)

Il moto delle particelle in sospensione nei fluidi in quiete, come previsto dalla teoria cinetico-molecolare del calore

Über die von der molerkulariketischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Annalen der Physik, XVII, 1905, pp. 549-560; traduzione di Giuseppe Longo in Opere scelte, parte seconda, pp. 136-147.

Incipit

In questo lavoro faremo vedere come, secondo la teoria cinetico-molecolare del calore, particelle in sospensione in una soluzione compiano, in conseguenza del moto termico delle molecole, movimenti di ampiezza tale che li si può agevolmente osservare al microscopio, purché, beninteso, la dimensione delle particelle stesse sia accessibile allo strumento. Può darsi che i moti che qui saranno considerati coincidano con il cosiddetto «moto molecolare browniano»; tuttavia i dati che ho potuto ottenere su quest'ultimo sono così imprecisi che non mi è stato possibile formulare alcun giudizio in merito.
Se il moto in questione si potrà effettivamente osservare, con tutte le regolarità che per esso ci si possono attendere, la termodinamica classica non sarà più da considerare esattamente valida già per spazi microscopicamente distinguibili, e quindi una determinazione esatta della vera grandezza degli atomi sarà possibile. Se viceversa la nostra previsione si dimostrasse incerta, ciò fornirebbe un serio argomento contro la concezione cinetico-molecolare del calore.

Citazioni

• Adottando il punto di vista della teoria cinetico-molecolare del calore si giunge tuttavia a un'altra conclusione. Secondo questa teoria, una molecola di soluto si differenzia da una particella soltanto per la grandezza, e non si comprende allora perché a un dato numero di queste particelle non dovrebbe corrispondere una pressione osmotica come quella che corrisponde allo stesso numero di molecole di soluto. (p. 137)
• Con queste considerazioni si è dimostrato che l'esistenza della pressione osmotica è una conseguenza della teoria cinetico-molecolare del calore e che, in base a questa teoria, numeri uguali di molecole di soluto e di particelle in sospensione si comportano, in presenza di una forte diluizione, in modo perfettamente uguale per quanto riguarda la pressione osmotica. (p. 141)
• Dalle condizioni [1] e [2] dell'equilibrio dinamico si può calcolare il coefficiente di diffusione, ottenendo
  
  $D={\frac {RT}{N}}{\frac {1}{6\pi kP}}$
  
  Il coefficiente di diffusione D dipende dunque, oltre che da costanti universali e dalla temperatura assoluta, solo dal coefficiente di viscosità del liquido e dalla grandezza delle particelle in sospensione. (pp. 142-143)

Explicit

Viceversa la relazione trovata si può utilizzare per determinare il valore di N. Si ottiene

$N={\frac {t}{\lambda _{x}^{2}}}{\frac {RT}{3\pi kP}}$

È sperabile che qualche ricercatore riesca, tra non molto, a risolvere il problema qui suggerito, che è così importante in relazione alla teoria del calore!

Berna, maggio 1905

(Ricevuto l'11 marzo 1905)

L'elettrodinamica dei corpi in movimento

Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, XVII, 1905, pp. 891–921; traduzione a cura dell'Università di Roma.

Incipit

È noto che l'elettrodinamica di Maxwell – come la si interpreta attualmente – nella sua applicazione ai corpi in movimento porta a delle asimmetrie, che non paiono essere inerenti ai fenomeni. Si pensi per esempio all'interazione elettromagnetica tra un magnete e un conduttore. I fenomeni osservabili in questo caso dipendono soltanto dal moto relativo del conduttore e del magnete, mentre secondo l'interpretazione consueta i due casi, a seconda che l'uno o l'altro di questi corpi sia quello in moto, vanno tenuti rigorosamente distinti. Se infatti il magnete è in moto e il conduttore è a riposo, nei dintorni del magnete esiste un campo elettrico con un certo valore dell'energia, che genera una corrente nei posti dove si trovano parti del conduttore. Ma se il magnete è in quiete e si muove il conduttore, nei dintorni del magnete non esiste alcun campo elettrico, e si ha invece nel conduttore una forza elettromotrice, alla quale non corrisponde nessuna energia, ma che – a parità di moto relativo nei due casi considerati – dà luogo a correnti elettriche della stessa intensità e dello stesso andamento di quelle alle quali dà luogo nel primo caso la forza elettrica.

Citazioni

• Le considerazioni seguenti si fondano sul principio di relatività e sul principio della costanza della velocità della luce, principi che definiamo nel modo seguente.
  1. Le leggi secondo le quali evolvono gli stati dei sistemi fisici sono indipendenti da quale di due sistemi di coordinate che si trovino uno rispetto all'altro in moto traslatorio uniforme queste evoluzioni di stato siano osservate.
  2. Ogni raggio di luce si muove nel sistema di coordinate "a riposo" con la velocità fissa V, indipendentemente dal fatto che questo raggio di luce sia emesso da un corpo a riposo o in moto. (p. 5)
• Vediamo quindi che non possiamo attribuire al concetto di simultaneità alcun significato assoluto, ma che invece due eventi che, considerati in un sistema di coordinate, sono simultanei, se considerati da un sistema che si muove relativamente a questo sistema, non si possono più assumere come simultanei. (p. 6)
• Da qui risulta la seguente conseguenza singolare. Nei punti A e B di K siano disposti due orologi a riposo, che camminano sincroni quando siano considerati nel sistema a riposo, e si muova l'orologio in A con la velocità v lungo la congiungente verso B, allora all'arrivo di quest'orologio in B i due orologi non sono più sincroni, ma l'orologio mosso da A a B resta indietro rispetto a quello che dall'inizio si trova in B di (1/2)t(v²/V²) secondi (a meno di quantità di ordine quarto e più alto), dove t è il tempo che l'orologio impiega da A a B. (p. 12)
• Si conclude da ciò che un orologio a bilanciere che si trovi all'equatore terrestre deve camminare più lento di un importo assai piccolo rispetto ad un orologio fatto esattamente alla stessa maniera, e sottoposto per il resto a condizioni uguali, ma che si trovi a un polo terrestre. (p. 12)
• Pertanto W per v=V sarà infinitamente grande. Velocità superluminali – in accordo con i nostri risultati precedenti – non hanno alcuna possibilità di esistenza. (p. 22)

Explicit

Queste tre relazioni sono un'espressione completa delle leggi secondo le quali si deve muovere l'elettrone per la presente teoria.
Osservo in conclusione che nei lavori sul problema qui trattato l'amico e collega M. Besso mi è stato accanto fedelmente e che gli sono debitore di molti suggerimenti preziosi.

Berna, giugno 1905

(ricevuto il 30 giugno 1905)

Citazioni su L'elettrodinamica dei corpi in movimento

• [Nel dicembre 1901] Sto lavorando freneticamente sull'elettrodinamica dei corpi in movimenti, che promette di diventare una memoria eccellente. Ti ho scritto che dubitavo della correttezza delle idee sul moto relativo, ma le mie riserve erano basate su un semplice errore di calcolo. Ora ci credo di nuovo e più di prima. (Albert Einstein)

L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?

Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhägig? Annalen der Physik, XVIII, 1905, pp. 639-641; traduzione di Ermanno Sagittario in Opere scelte, parte seconda, pp. 178-180.

Incipit

I risultati della precedente ricerca portano a una conclusione molto interessante, che ora intendo dedurre.
Avevo basato quella ricerca sulle equazioni di Maxwell-Hertz per lo spazio vuoto unite all'espressione maxwelliana per l'energia elettromagnetica dello spazio, nonché sul seguente principio:
Le leggi secondo cui cambiano gli stati dei sistemi fisici sono indipendenti dal fatto che questi cambiamenti siano riferiti all'uno o all'altro di uno dei due sistemi di coordinate che si muovano, l'uno rispetto all'altro, di modo traslatorio parallelo e uniforme (principio di relatività).

Citazioni

• Da questa equazione direttamente segue che se un corpo emette un'energia L sotto forma di radiazione, la sua massa diminuisce di L/c². Il fatto che l'energia sottratta al corpo divenga energia di radiazione non è essenziale, e la conclusione che se ne trae è di portata più generale: la massa di un corpo è una misura del suo contenuto di energia di una quantità L, la massa varia, nello stesso senso, di L/9 × 10²⁰, se l'energia si misura in erg e la massa in grammi. (p. 180)

Explicit

Non è da escludere che la teoria trovi conferma nel caso dei corpi a contenuto energetico fortemente variabile, come i sali di radio. Se la teoria è conforme ai fatti, allora la radiazione trasporta inerzia tra corpi emittenti e corpi assorbenti.

Articoli scientifici successivi

La teoria della generazione e dell'assorbimento della luce

Zur Theorie der Lichtezeugung und Lichtabsorption, Annalen der Physik, XX, 1906, pp. 199-206; traduzione di Giuseppe Longo in Opere scelte, parte seconda, pp. 181-188

Incipit

In un lavoro comparso l'anno scorso [Un punto di vista euristico relativo alla generazione e alla trasformazione della luce] ho mostrato che la teoria di Maxwell sull'elettricità, insieme con la teoria dell'elettrone, conduce a risultati che sono in contraddizione con le esperienze sulla radiazione di corpo nero. Seguendo una via ivi esposta, sono stato condotto all'idea che una luce di frequenza ${\nu }$ possa essere assorbita ed emessa soltanto per quanti di energia ${R/N}{\beta \nu }$, dove R è la costante universale dei gas riferita a una grammomolecola, N il numero di molecole effettive contenute in una grammomolecola e β il coefficiente nell'esponenziale della formula di Wien (o di Planck). Questa formula è stata ricavata per un dominio che corrisponde al dominio di validità della formula di Wien.

Citazioni

• L'energia di un risonatore elementare può assumere solo valori che siano multipli interi di ${R/N}{\beta \nu }$; in assorbimento o in emissione l'energia di un risonatore varia per salti, e precisamente per un multiplo intero di ${R/N}{\beta \nu }$. [...] Se l'energia di un risonatore può variare solo per salti, allora, per calcolare l'energia media di un risonatore che si trovi in uno spazio occupato da radiazione, non può essere impiegata l'ordinaria teoria dell'elettricità, poiché questa non riconosce valori privilegiati dell'energia di un risonatore. (pp. 184-185)

Explicit

Se dunque ${\nu _{1}}$ e ${\nu _{2}}$ sono le più piccole frequenze luminose che provocano l'effetto fotoelettrico dei metalli ${M_{1}}$ e ${M_{2}}$, la differenza di potenziale di contatto, ${V_{12}}$, deve soddisfare la relazione

$-{V_{12}}={V_{1}}-{V_{2}}={\frac {R}{A}}\beta ({\nu _{1}}-{\nu _{2}})$

ovvero, se ${V_{12}}$ viene misurata in volt,

${V_{12}}=4,2\times 10^{-15}({\nu _{1}}-{\nu _{2}})$

In questa formula è contenuta la seguente proposizione, in generale senz'altro valida: quanto più un metallo è elettropositivo, tanto più bassa è la minima frequenza luminosa efficace per questo metallo. Sarebbe di grande interesse sapere se la formula rispecchia il fenomeno anche sotto il profilo quantitativo.

Berna, marzo 1906

(ricevuto il 13 marzo 1906)

La teoria planckiana della radiazione e la teoria dei calori specifici

Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme, Annalen der Physik, XXII, 1907, pp. 180-190; traduzione di Giuseppe Longo in Opere scelte, parte seconda, pp. 189-200.

Incipit

In due lavori precedenti [Un punto di vista euristico relativo alla generazione e alla trasformazione della luce e La teoria della generazione e dell'assorbimento della luce] ho mostrato come l'interpretazione della distribuzione dell'energia della radiazione di un corpo nero dal punto di vista della teoria di Boltzmann per il secondo principio apra la via a una concezione nuova dei fenomeni di emissione e di assorbimento della luce; una concezione che, se non ha ancora il carattere di una teoria compiuta, è degna di nota in quanto facilita la comprensione di una serie di regolarità. In questo lavoro si vedrà come l'introduzione di un'ipotesi tratta dalla teoria della radiazione, e precisamente dalla teoria di Planck, consenta di superare alcune difficoltà che finora ostacolavano l'elaborazione della teoria cinetico-molecolare; verrà inoltre messa in luce una certa relazione fra il comportamento termico e quello ottico dei corpi solidi.

Citazioni

Capacità termica nel modello di Einstein

• Si pensava finora che i moti molecolari fossero caratterizzati esattamente dalle stesse regolarità che valgono per i moti dei corpi del nostro mondo sensibile (con la sola aggiunta, in pratica, del postulato della reversibilità perfetta); ora, nel caso di ioni in grado di oscillare con una determinata frequenza e capaci di mediare uno scambio energetico tra materia e radiazione, dobbiamo ipotizzare che la varietà di stati in cui essi possano trovarsi sia più limitata di quella tipica dei corpi della nostra esperienza. Abbiamo infatti dovuto introdurre, per il trasferimento energetico, un meccanismo tale che l'energia della struttura elementare possa assumere esclusivamente i valori 0, ${R/N}{\beta \nu }$, $2{R/N}{\beta \nu }$ e così via. (p. 193)
• Se consideriamo i portatori del calore nei corpi solidi come strutture in oscillazione periodica di frequenza indipendente dall'energia di oscillazione, stando alla teoria della radiazione di Planck non possiamo aspettarci che il calore specifico possieda sempre il valore 5,94n. (pp. 194-195)
• Osserviamo che tutti gli elementi con calore atomico anormalmente piccolo possiedono un peso atomico piccolo; ciò è da aspettarsi, in base alla nostra interpretazione poiché, ceteris paribus, a pesi atomici bassi corrispondono grandi frequenze di oscillazione. (pp. 197-198)

Explicit

Ci si deve dunque aspettare, secondo la teoria, che il diamante manifesti un massimo di assorbimento per $\lambda =11\mu m$.

Berna, novembre 1906

(ricevuto il 9 novembre 1906)

Lo stato attuale del problema della radiazione

Zum geogenwärtigen Stand des Strahlungsprobles, Physikalische Zeitschrift, X, 1909, pp. 185-193; traduzione di Giuseppe Longo in Opere scelte, parte seconda, pp. 201-220

Incipit

Negli ultimi tempi sono comparse, su questa rivista, dichiarazioni di H.A. Lorentz, J.H. Jeans e Walter Ritz, le cui idee si prestano a delineare lo stato attuale di questo problema singolarmente importante. Ritenendo utile che tutti coloro che hanno riflettuto seriamente sulla questione comunichino le loro opinioni, anche se non sono riusciti a raggiungere un risultato definitivo, comunico quanto segue.

Citazioni

• È certamente vero che le equazioni di Maxwell per lo spazio vuoto, di per sé, non affermano nulla, ed è vero che esse rappresentano solo una costruzione intermedia; è noto che la stessa cosa si può dire anche delle equazioni del moto di Newton, come di ogni teoria che abbia bisogno di essere integrata da altre per riuscire a fornire la descrizione di un complesso di fenomeni. (pp. 201-202)
• Non sono ancora riuscito a trovare un sistema di equazioni che soddisfacesse queste condizioni e che fosse idoneo alla costruzione del quanto elementare elettrico e del quanto di luce. Sembra tuttavia che le possibilità non siano tanto numerose da doverci spaventare di fronte a questo compito. (p. 219)

Explicit

La mia critica in merito a questo punto non è da considerare un'obiezione (nel senso proprio del termine) contro la teoria di Planck, bensì soltanto un tentativo di formulare e applicare il principio dell'entropia-probabilità in modo un po' più rigoroso di quanto si sia fatto finora. Una formulazione più rigorosa di questo principio era necessaria, perché senza di essa gli sviluppi successivi della memoria, in cui si conclude che la radiazione ha struttura molecolare, sarebbero stati alquanto ingiustificati. Affinché la mia formulazione non apparisse qualcosa di arbitrario o scelto ad hoc, dovevo far vedere in che cosa la vecchia formulazione a mio giudizio era carente.

Berna, gennaio 1909

(ricevuto il 23 gennaio 1909)

L'effetto della gravitazione sulla propagazione della luce

Über den Einfluss der Scwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes, Annalen der Physik, XXXV, 1911, pp. 898-908; traduzione di Giuseppe Longo in Opere scelte, parte seconda, pp. 221-232

Incipit

Alla domanda se la gravità abbia un effetto sulla propagazione della luce ho già cercato di dare risposta in una memoria comparsa tre anni fa. Ritorno ancora su questo tema perché la trattazione che feci allora dell'argomento non mi soddisfa, ma ancor di più perché ora vedo, a posteriori, che una delle conseguenze più importanti delle conseguenze più importanti di quelle considerazioni è accessibile alla verifica sperimentale. Secondo la teoria che qui presenterò risulta infatti che i raggi di luce, passando in prossimità del Sole, subiscono una deviazione a causa del suo campo gravitazionale, sicché la distanza angolare dal Sole di una stella fissa visibile nella zona di cielo prossima a quest'ultimo subisce un aumento apparente di quasi un secondo d'arco.

Citazioni

• La teoria della relatività ci ha insegnato che la massa inerziale di un corpo cresce con il suo contenuto energetico; se E/2 è l'incremento di energia, l'incremento della massa inerziale è E/c, dove c indica la velocità della luce. Ma a questo incremento della massa inerziale corrisponde anche un aumento della massa gravitazionale? Se non fosse così, un corpo cadrebbe nello stesso campo gravitazionale con accelerazione diversa a seconda del suo contenuto di energia. E quel risultato, così soddisfacente, della teoria della relatività, e cioè il confluire del principio di conservazione della massa nel principio di conservazione dell'energia, non potrebbe essere più considerato valido: si dovrebbe infatti rinunciare al principio di conservazione della massa nella sua vecchia formulazione per la massa inerziale, ma lo si dovrebbe, viceversa, conservare per la massa gravitazionale. Ciò dev'essere considerato assai improbabile. D'altra parte, la corrente teoria della relatività non ci offre alcun argomento dal quale si possa inferire una dipendenza del peso di un corpo dal suo contenuto di energia. (p. 223)
• L'incremento della massa gravitazionale è dunque uguale a E/c², e cioè all'incremento della massa inerziale previsto dalla teoria della relatività. [...] l'energia deve pertanto possedere una massa gravitazionale uguale alla sua massa inerziale. (p. 226)

Explicit

Un raggio di luce che passasse nelle vicinanze del Sole subirebbe dunque una deviazione di 4×10^{– 6} (=0,83) secondi d'arco. A causa della curvatura del raggio, la distanza angolare della stella dal centro del Sole appare aumentata di questa quantità. Poiché le stelle fisse situate nella zona di cielo prossima al Sole diventano visibili durante le eclissi totali di Sole, questa conseguenza della teoria è confrontabile con l'esperienza. Per il pianeta Giove la deviazione prevedibile raggiunge circa 1/100 del valore sopra indicato. Sarebbe quanto mai auspicabile che del problema si occupassero gli astronomi, anche se le argomentazioni presentate dovessero apparire non abbastanza fondate o addirittura avventurose. A prescindere da ogni teoria, sarebbe il caso di chiedersi se non sia possibile accertare con i mezzi attuali un'attuazione dei campi gravitazionali sulla propagazione della luce.

Praga, giugno 1911

(ricevuto il 21 giugno 1911)

Lo stato attuale del problema dei calori specifici

L'état actuel du problème des chaleurs spécifiques, in La théorie du rayonnement et les quanta, atti del 1° Congresso Solvay, Bruxelles, 1911, Gauthier-Villars, Parigi, 1912, pp. 407-435; traduzione di Giuseppe Longo in Opere scelte, parte seconda, pp. 233-281

Foto del 1° Congresso Solvay. Einstein è il secondo a partire da destra

Relazione

• Se l'atomo non si può muovere liberamente, ma è legato a una posizione di equilibrio, gli compete non solo l'energia cinetica media sopra indicata, ma anche un'energia potenziale; è questo il caso dei corpi solidi. Se l'equilibrio degli atomi è stabile, ogni spostamento di un atomo corrisponde a un'energia potenziale positiva, e poiché lo spostamento medio dalla posizione di equilibrio deve aumentare con l'agitazione termica, e cioè con la temperatura, a questa energia potenziale deve sempre corrispondere, nel calore specifico, un termine positivo. (p. 233)
• Il modello più semplice da cui partire per effettuare questo genere di calcoli è il seguente. Supponendo gli atomi collocati nei nodi di un reticolo cubico, ciascun atomo avrà 26 vicini immediati, tutti situati approssimativamente a una distanza d. Ad ogni variazione Δ di questa distanza si oppone una forza aΔ, ove a è una costante caratteristica dipendente della rigidità del solido. In funzione di a si può valutare sia la compressibilità k del solido, sia la frequenza propria delle oscillazioni d'un atomo intorno alla sua posizione d'equilibrio (quest'ultima si calcola supponendo che solo l'atomo considerato si sia allontanato dalla posizione d'equilibrio, e che i suoi 26 vicini vi siano rimasti). (pp. 239-240)
• Torniamo all'interpretazione della differenza fra le variazioni teoriche e sperimentali del calore specifico con la temperatura. Secondo me questa differenza è dovuta al fatto che le oscillazioni termiche degli atomi sono ben lungi dall'essere monocromatiche, possedendo non una frequenza determinata, bensì tutto un dominio di frequenze. Abbiamo visto in precedenza come si possa calcolare ${\nu }$ a partire dalle forze elastiche; ma in quel calcolo supponevamo, per semplicità, che gli atomi vicini all'atomo considerato restassero immobili. In realtà anch'essi oscillano, e così facendo perturbano il moto del primo atomo. (p. 241)
• Il risultato del paragrafo precedente si può riassumere così: quando un corpo scambia energia mediante un meccanismo quasi periodico di frequenza ${\nu }$, le proprietà statistiche del fenomeno sono le stesse che se l'energia si trasferisse per quanti interi di grandezza ${h\nu }$. Benché non si veda in virtù di quale meccanismo una tale proprietà potrebbe essere spiegata, è necessario supporre che la scomparsa dell'energia periodica avvenga per quanti di grandezza ${h\nu }$, e anche, per il manifestarsi di fenomeni periodici di frequenza ${\nu }$, che l'energia sa disponibile in quanti dello stesso valore. In particolare, una radiazione compresa in una gamma di frequenze ${\Delta \nu }$ e in grado di produrre un effetto determinante, per esempio una certa reazione fotoelettrica per una certa densità dell'energia radiante, deve poter produrre lo stesso effetto anche per una densità di radiazione arbitrariamente bassa. Queste deduzioni sembrano essere pienamente confermate dai fatti, ed è essenziale notare come le concezioni usuali lascino prevedere tutt'altra cosa. (pp. 256-257)

Discussione sulla relazione

• Su questo siamo tutti d'accordo: la teoria dei quanti, nella sua forma attuale, potrà anche essere di utilità pratica, ma non costituisce una vera teoria nel comune senso del termine, e, comunque, non una teoria fin d'ora suscettibile di essere sviluppata in maniera coerente. D'altra parte è anche chiaro che la dinamica classica, che si esprime nelle equazioni di Lagrange e di Hamilton, non è più in grado di darci un'intelaiatura teorica sufficiente per la rappresentazione di ogni fenomeno [...]. Il problema è di sapere quali siano i princìpi generali della fisica su cui poter contare per la risoluzione delle questioni che ci stanno a cuore. Sarete tutti d'accordo sulla necessità di conservare anzitutto il principio dell'energia. (p. 263)
• La probabilità W di uno stato è così definita mediante la sua frequenza relativa quando il sistema sia lasciato libero di evolversi per un tempo indefinito. Da questo punto di vista è notevole che, nella stragrande maggioranza dei casi, quando si parte da uno stato iniziale determinato vi sia uno stato vicino che viene assunto, di gran lunga più frequentemente di ogni altro, dal sistema nelle condizioni suddette. (p. 264)
• L'esempio seguente potrà servire per discutere questo modo di applicare il principio di Boltzmann. Un vaso cilindrico contiene un liquido nel quale si trova, in sospensione, una particella il cui peso supera di P quello del liquido spostato. In base alla termodinamica la particella dovrebbe cadere sul fondo e restarvi indefinitamente. In base alla teoria cinetica del calore, invece, l'altezza della particella rispetto al fondo cambia costantemente in modo irregolare, senza che mai si raggiunga la quiete. Per sollevare la particella a un'altezza z rispetto al fondo è necessario compiere un lavoro Pz. Affinché l'energia del sistema resti immutata bisogna sottrarre ad esso una quantità equivalente di calore [...]. (pp. 265-266)

I fondamenti della teoria della relatività generale

Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie, Annalen der Physik, XLIX, 1916, pp. 769-822; traduzione di Aldo M. Pratelli in Opere scelte, parte seconda, pp. 282-343

Incipit

La teoria della quale tratto nella presente memoria rappresenta la massima generalizzazione immaginabile della teoria che oggi prende ordinariamente il nome di «teoria della relatività»; nel seguito chiamo quest'ultima, per distinguerla da quella che ero espongo, «teoria della relatività ristretta», e suppongo che sia conosciuta. La generalizzazione della teoria della relatività è stata molto facilitata nella forma data alla teoria della relatività ristretta da Minkowski, il matematico che per primo ha compreso chiaramente l'equivalenza formale tra le coordinate spaziali e la coordinata temporale, rendendola applicabile alla teoria. I mezzi matematici necessari per la teoria della relatività generale erano già pronti nel «calcolo differenziale assoluto», il quale si basa sulle ricerche di Gauss, Riemann e Christoffel sulle varianti non euclidee, ed è stato eretto a sistema da Ricci e Levi-Civita e da essi applicato a problemi della fisica teorica.

Citazioni

Onde gravitazionali di due buchi neri

• [...] la teoria della relatività ristretta si differenzia dalla meccanica classica non a causa del postulato della relatività, ma a motivo del postulato secondo cui è costante la velocità della luce nel vuoto. (p. 283)
• La modificazione alla quale la teoria della relatività ristretta ha assoggettato la concezione dello spazio e del tempo è invero di vasta portata, ma un punto importante non è stato ancora sviscerato. Infatti le leggi della geometria, anche secondo la teoria della relatività ristretta, debbono venir interpretate direttamente come leggi che si riferiscono alle possibili posizioni relative ai corpi rigidi a riposo, e, più in generale, le leggi della cinematica debbono venir interpretate come leggi che descrivono le relazioni tra i campioni di lunghezza e gli orologi. A due prefissati punti materiali di un corpo rigido fisso corrisponde sempre una distanza che ha un valore ben definito, valore che non dipende dal luogo in cui si trova il corpo né dall'orientamento e che non dipende nemmeno dal tempo. Vedremo fra poco che la teoria della relatività generale non può rimaner fedele a questa semplice interpretazione fisica dello spazio e del tempo. (pp. 283-284)
• Sia $K$ un sistema di riferimento galileano, vale a dire un sistema rispetto al quale (almeno nella regione quadridimensionale in esame) una massa, sufficientemente distante dalle altre masse, si muova di moto rettilineo uniforme. Sia $K'$ un secondo sistema di riferimento che si muove, rispetto a $K$, di moto relativo traslatorio uniformemente accelerato. [...] Un osservatore a riposo rispetto a $K'$ può concludere che egli si trova su un sistema di riferimento «realmente accelerato»? La risposta è negativa; infatti la relazione sopracitata delle masse liberamente mobili rispetto a $K'$ può essere interpretata ugualmente bene nel seguente modo. Il sistema di riferimento $K'$ non è accelerato, ma la regione spazio-temporale in questione subisce l'influenza di un campo gravitazionale, il quale genera il moto accelerato dei corpi rispetto a $K'$. Questo punto di vista ci è reso possibile in quanto l'esperienza ci insegna che esiste un campo di forza, il campo gravitazionale, che gode della notevole proprietà di imprimere la medesima accelerazione a tutti i corpi. [...] Quindi, dal punto di vista fisico, l'ipotesi suggerisce prontamente essa stessa che i sistemi $K$ e $K'$ possono entrambi, con ugual diritto, essere considerati «a riposo», vale a dire hanno ugual diritto di venir scelti quali sistema di riferimento per la descrizione dei fenomeni fisici. Si vede da queste considerazioni che nell'istituire la teoria della relatività generale saremo condotti a una teoria della gravitazione, in quanto siamo capaci di «produrre» un campo gravitazionale semplicemente cambiando il sistema di coordinate. Si vede altresì che il principio della costanza della velocità della luce nel vuoto deve venir modificato, in quanto si costata facilmente che la traiettoria di un raggio rispetto a $K'$ deve essere in generale curvilinea, se rispetto a $K$ la luce si propaga lungo una linea retta con determinata velocità costante. (pp. 285-286)
• Tutte le nostre verifiche spazio-temporali si riducono invariabilmente a una determinazione di coincidenze spazio-temporali. Se, ad esempio, i fenomeni naturali consistono esclusivamente nel moto di punti materiali, allora in definitiva nulla si potrà osservare tranne l'incontro di due o più di questi punti. Inoltre i risultati delle nostre misurazioni non sono nient'altro che verifiche di certi incontri di punti materiali di nostri strumenti di misura con altri punti materiali, o coincidenze tra le lancette di un orologio e punti sul quadrante dell'orologio, o punti-evento osservati che cadono nello stesso posto e nel medesimo istante. (pp. 289-290)
• In questa memoria non è mia intenzione presentare la teoria della relatività generale come un sistema logico assai semplice, basato sul minimo di assiomi. Il mio scopo principale è invece quello di sviluppare questa teoria in modo tale che il lettore si renda conto che la via su cui siam messi è psicologicamente l'unica naturale, e che le ipotesi fatte van d'accordo il più possibile con l'esperienza. In vista di tal scopo formuliamo l'ipotesi:
  Per regioni quadridimensionali infinitamente piccole, se le coordinate sono scelte convenientemente, rimane valida la teoria della relatività ristretta. (p. 290)
• In base alla teoria della relatività generale, la gravitazione occupa così una posizione eccezionale nei confronti delle rimanenti forze, e soprattutto delle forze elettromagnetiche, in quanto le 10 funzioni $g_{\mu \nu }$ che rappresentano il campo gravitazionale determinano contemporaneamente le proprietà metriche dello spazio quadridimensionale. (p. 293)
• L'idea fondamentale della teoria generale degli enti covarianti è la seguente. Siano definiti certi enti («tensori») mediante un gruppo di funzioni posizionali, denominate «componenti» del tensore rispetto a un prefissato sistema di coordinate. Esistono poi determinate regole le quali permettono di calcolare tali componenti, rispetto a un qualsivoglia sistema, una volta che esse siano note rispetto al sistema originario di coordinate, e che sia conosciuto il legame tra le vecchie e le nuove coordinate. Gli enti qui sopra determinati «tensori» sono inoltre caratterizzati dal fatto che le equazioni di trasformazione delle loro componenti sono lineari ed omogenee. Di conseguenza, quando le componenti sono nulle rispetto al settore primitivo, si annullano anche tutte le componenti rispetto al sistema primitivo. Cosicché, se una legge naturale si esprime eguagliando a zero tutte le componenti di un tensore, essa è covariante in modo generale; in tal modo, nel cercare le leggi della formazione dei tensori, otteniamo i mezzi per formulare leggi covarianti in modo generale. (pp. 293-294)
• Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma [...] e unicamente rispetto a indici siffatti. Pertanto è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno $\sum$. A tale scopo diamo la seguente regola: quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo esplicita indicazione contraria. [...] Seguendo l'uso introdotto da Ricci e Levi-Civita, indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto. (pp. 295-296)
• Nel seguito distinguiamo tra il «campo gravitazionale» e la «materia», nel senso che denominiamo «materia» tutto ciò che non è campo gravitazionale; in altri termini la parola «materia» comprende non solamente la materia nel significato ordinario, ma altresì il campo elettromagnetico. (p. 320)
• Si deve precisare che vi è ben poca arbitrarietà nella scelta di queste equazioni. Infatti al di fuori di $R_{\mu \sigma }$ non vi è alcun altro tensore doppio, che sia formato con le $g_{\mu \sigma }$ e le loro derivate, che non contenga derivate di ordine superiore al secondo e che sia lineare in queste ultime. Che queste equazioni – le quali si deducono, con procedimento puramente matematico, dal postulato della relatività generale, e, insieme, dalle equazioni di movimento [46] – diano in prima approssimazione la legge di attrazione di Newton e in seconda approssimazione la spiegazione dello spostamento del perielio di Mercurio scoperto da Leverrier (tenuto conto delle correzioni che si debbon fare per via delle perturbazioni) son fatti che, dal mio punto di vista, costituiscono una convincente verifica di quanto la teoria sia aderente alla realtà fisica. (p. 321)
• La teoria della relatività ristretta ha portato alla conclusione che la massa inerte non è nient'altro che energia, la quale trova la sua completa espressione matematica in un tensore doppio simmetrico, il tensore energetico. [...] Il sistema di equazioni [51] mostra come questo tensore energetico (corrispondente alla densità $\varrho$ nell'equazione di Poisson) deve introdursi nelle equazioni del campo gravitazionale. Infatti se consideriamo un sistema completo (ad esempio il sistema solare), la massa totale di tale sistema, come del resto la sua azione gravitazionale totale, dipenderà dall'energia totale del sistema, e cioè dall'energia ponderabile e dall'energia gravitazionale. (p. 325)
• [...] otteniamo [...] l'equazione [...]
  
  ${\frac {\partial T_{\sigma }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }=0$. [57]
  
  Il confronto con la [41b] mostra che, con, la scelta del sistema di coordinate da noi fatta, questa equazione non attesta nient'altro che l'annullarsi della divergenza del tensore energetico della materia. Dal punto di vista fisico, l'apparizione del secondo addendo della [57] mostra che le leggi di conservazione della quantità di moto e dell'energia non si applicano, propriamente parlando, alla materia presa isolatamente, ossia si applicano solo quando le $g^{\mu \nu }$ sono costanti, vale a dire quando le forze del campo gravitazionale si annullano. Tale secondo addendo è un'espressione della quantità di moto, e rispettivamente dell'energia, che vengono trasmesse per unità di volume e per unità di tempo dal campo gravitazionale a quello della materia. (p. 328)
• [...] il principio di relatività generale non limita le nostre possibilità, ma ci rende edotti dell'influenza del campo gravitazionale su tutti i fenomeni, senza che si debba introdurre qualsiasi nuova ipotesi. (p. 329)

Explicit

In base a ciò un raggio di luce che passa nelle vicinanze del Sole subisce una deflessione di $1,7''$, mentre un raggio che passa nelle vicinanze del pianeta Giove subisce una deflessione di circa $0,02''$.
Qualora si calcoli il campo gravitazionale con un grado di approssimazione più alto, e, con approssimazione corrispondente, l'orbita del moto di un punto materiale di massa trascurabile in confronto alla massa M che genera il campo, si trova uno scarto del seguente tipo rispetto alle leggi del moto dei pianeti di Keplero e Newton. L'orbita ellittica di un pianeta subisce una leggera rotazione, nella direzione del moto, del valore (per ogni rotazione)

$\varepsilon =24\pi ^{3}{\frac {a^{2}}{T^{2}c^{2}\left(1-e^{2}\right)}}$. [75]

Nella [75], a indica il semiasse maggiore, c la velocità della luce nelle consuete unità di misura, e la eccentricità, T il tempo di rivouzioni in secondi.
Il calcolo dà per il pianeta Mercurio una rotazione dell'orbita di $43''$ per secolo, corrispondente esattamente all'osservazione astronomica (Le Verrier); infatti gli astronomi hanno scoperto nel movimento del perielio di questo pianeta, dopo aver depurato dalle perturbazioni recate dagli altri pianeti, un resto di tale grandezza che rimane altrimenti inspiegabile.

La teoria quantica della radiazione

Zur Quantentheorie der Strahlung, Physikalische Zeitschrift, XVIII, 1917, pp. 121-128; traduzione di Giuseppe Longo in Opere scelte, parte seconda, pp. 344-360

Incipit

L'analogia formale tra la curva della distribuzione cromatica della radiazione termica e la legge di distribuzione nella velocità di Maxwell era troppo evidente per poter restare nascosta a lungo.

Citazioni

• Orbene, poco tempo fa ho scoperto un modo di dedurre la formula di Planck (a partire dalla fondamentale ipotesi quantica) che è simile all'analisi originale di Wien e in cui torna utile la relazione fra la curva di Maxwell e la curva della distribuzione cromatica. Questa deduzione è degna di nota non solo per la sua semplicità, ma soprattutto perché sembra fare un po' di luce sul processo, per noi ancora tanto oscuro, dell'emissione e dell'assorbimento della radiazione da parte della materia. Basandomi su alcune ipotesi sull'emissione e sull'assorbimento della radiazione da parte delle molecole (ipotesi naturali dal punto di vista della teoria dei quanti) ho dimostrato che le molecole con stati distribuiti, all'equilibrio termico, nel senso della teoria dei quanti sono in equilibrio dinamico con la radiazione di Planck; in questo modo la formula [4] di Planck è stata ottenuta in modo sorprendentemente semplice e generale. Essa è ottenuta partendo dalla condizione che la distribuzione degli stati dell'energia interna delle molecole richiesta dalla teoria dei quanti si instauri solo mediante assorbimento ed emissione di radiazione. (p. 345)

Albert Einstein nel 1916

• Secondo Hertz, un risonatore di Planck in oscillazione irradia energia secondo modalità note, indipendentemente dal fatto di essere o non eccitato da un campo esterno. Conformemente a ciò, una molecola dovrebbe poter passare dallo stato $Z_{m}$ allo stato $Z_{n}$ emettendo l'energia radiante $\varepsilon _{m}-\varepsilon _{n}$, di frequenza $\nu$ senza essere eccitata da cause esterne. La probabilità di $W$ che ciò avvenga effettivamente nell'elemento di tempo $dt$ è data da
  
  $dW=A_{m}^{n}dt$, [6]
  
  dove $A_{m}^{n}$ indica una costante caratteristica della combinazione di indici considerata. (pp. 347-348)
• Se un risonatore di Planck si trova in un campo di radiazione, l'energia del risonatore si modifica poiché il campo elettromagnetico della radiazione trasferisce lavoro al risonatore; questo lavoro può essere positivo o negativo a seconda delle fasi del risonatore e del campo oscillante. Conformemente a ciò, introduciamo la seguente ipotesi quantica. Per effetto di una densità di radiazione $\varrho$ di frequenza $\nu$, una molecola può passare dallo stato $Z_{n}$ allo stato $Z_{m}$ assorbendo l'energia $\varepsilon _{m}-\varepsilon _{n}$, secondo la legge di probabilità
  
  $dW=B_{n}^{m}\varrho dt$. [7]
  
  Analogamente sia possibile, per effetto della radiazione, una transizione $Z_{m}\rightarrow Z_{n}$, che libera l'energia radiante $\varepsilon _{m}-\varepsilon _{n}$, secondo la legge di probabilità
  
  $dW=B_{m}^{n}\varrho dt$. [7a]
  
  Le $B_{n}^{m}$ e $B_{m}^{n}$ sono costanti. Questi due processi li chiameremo «cambiamenti di stato per assorbimento di radiazione». (p. 348)
• Ci chiediamo ora quale densità efficace di radiazione efficace di radiazione si debba avere affinché lo scambio di energia tra radiazione e molecole, governato dalle leggi statistiche [6], [7] e [7a], non alteri la distribuzione degli stati delle molecole data dall'equazione [5] [$W=p_{n}e^{-\varepsilon _{n}/kT}$]. Per questo è necessario e sufficiente che, nell'unità di tempo, avvengano mediamente tanti processi elementari di tipo [7] quanti dei tipi [6] e [7a] insieme. In virtù delle [5], [6], [7], [7a], questa condizione fornisce, per i processi elentari corrispondenti alla combinazione di indici (m, n), l'equazione
  
  $p_{n}e^{-\varepsilon _{n}/kT}B_{n}^{m}\varrho =p_{m}e^{-\varepsilon _{n}/kT}(B_{m}^{n}\varrho +A_{m}^{n})$.
  
  Se inoltre, com'è da supporre, $\varrho$ cresce all'infinito con $T$, fra le costanti $B_{n}^{m}$ e $B_{m}^{n}$ deve sussistere la relazione
  
  $p_{n}B_{n}^{m}=p_{m}B_{m}^{n}$.
  
  Otteniamo allora dalla nostra equazione la seguente condizione per l'equilibrio dinamico:
  
  $\varrho ={\frac {A_{m}^{n}/B_{m}^{n}}{e^{(\varepsilon _{m}-\varepsilon _{n})/kT}-1}}$.
  
  È questa l'espressione della densità di radiazione in funzione della temperatura secondo la legge di Planck. Di qui, per la legge dello spostamento di Wien, segue subito che
  
  $A_{m}^{n}/B_{m}^{n}=\alpha \nu ^{2}$
  
  e
  
  $\varepsilon _{m}-\varepsilon _{n}=h\nu$,
  dove $\alpha$ e $h$ sono costanti universali. (p. 350)
• Supponiamo che, in conseguenza dell'interazione con un fascio di raggi, una molecola assuma o ceda una quantità di energia pari a $h\nu$ mediante un processo elementare: ad essa viene trasferito l'impulso $h\nu /c$, che sarà nella direzione di propagazione del fascio in caso di assorbimento, e nella direzione opposta in caso di cessione. Se la molecola è soggetta all'azione di più fasci di radiazione orientati, uno solo di essi prende parte a un processo elementare di assorbimento della radiazione; soltanto questo fascio determina quindi la direzione dell'impulso trasferito alla molecola.
  Se la molecola subisce, senza eccitazione esterna, una perdita di energia di entità $h\nu$, cedendo questa energia sotto forma di radiazione (emissione), si tratterà anche in questo caso di un processo orientato. Non esiste emissione di radiazione per onde sferiche. Nel processo elementare di emissione la molecola subisce un contraccolpo di valore $h\nu /c$ in una direzione che, allo stato attuale della teoria, è determinata solo dal «caso». (p. 359)

Explicit

Va ancora fatta un'osservazione generale. Quasi tutte le teorie della radiazione termica si basano sullo studio dell'interazione tra radiazione e molecole. Ma, in generale, ci si contenta di studiare lo scambio energetico, senza tener conto dello scambio dell'impulso. A ciò autorizza facilmente la piccolezza degli impulsi trasferiti con la radiazione, che fa sì che essi abbiano, rispetto ad altre cause del moto, quasi sempre scarsa importanza. Ma nell'analisi teorica quei piccoli effetti sono da considerare della stessa importanza di quelli, cospicui, dal trasferimento di energia mediante radiazione, poiché energia e impulso sono fra loro legati nel modo più stretto; pertanto una teoria può essere considerata corretta solo quando si sia dimostrato che gli impulsi che, in base a questa teoria, sono trasferiti dalla radiazione alla materia, portano ai moti che richiede la teoria del calore.

(ricevuto il 3 marzo 1917)

Considerazioni cosmologiche sulla relatività generale

Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1917, parte 1, pp. 142-152; traduzione di Aldo M. Pratelli in Opere scelte, parte seconda, pp. 361-373

Incipit

È ben noto che l'equazione di Poisson

$\Delta \varphi =4\pi K\varrho$

in collegamento con le equazioni del moto di un punto materiale, non sostituisce perfettamente la teoria newtoniana dell'azione a distanza. È necessario ancora tener conto della condizione che all'infinito spaziale il potenziale $\varphi$ tenda verso un valore limite fisso. Una situazione analoga si presenta nella teoria relativistica della gravitazione: anche in questo caso si debbono aggiungere alle equazioni differenziali delle condizioni ai limiti dell'infinito spaziale, se si vuole attribuire all'universo un'estensione spaziale infinita.

Citazioni

• Da ciò che si è ora detto si vedrà che non son riuscito a formulare condizioni al contorno per l'infinito spaziale. Tuttavia rimane ancora una possibilità [...]. Infatti, se fosse possibile riguardare l'universo come un continuo che è finito (chiuso) rispetto alle sue dimensioni spaziali, non avremmo nessuna necessità di tali condizioni al contorno. Faremo vedere che sia il postulato della relatività generale, sia il fatto delle piccole velocità stellari, sono compatibili con l'ipotesi di un universo spazialmente finito, benché certamente, allo scopo di formulare quest'idea, ci sarà necessaria una modificazione atta a generalizzare le equazioni del campo gravitazionale. (p. 368)
• [...] se fosse certo che le equazioni di campo che ho testé adoperato fossero le uniche compatibili col postulato della relatività generale, dovremmo probabilmente concludere che la teoria della relatività non ammette l'ipotesi di un universo spazialmente finito. Tuttavia il sistema di equazioni permette un'estensione prontamente suggerita, che è compatibile col postulato di relatività, ed è perfettamente analoga all'estensione dell'equazione di Poisson [...]. Infatti al membro di sinistra [...] possiamo aggiungere il tensore fondamentale $g_{\mu \nu }$, moltiplicato per la costante universale, $-\lambda$, per il momento ignota, senza distruggere la covarianza generale. Al posto dell equazioni scriviamo
  
  $G_{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }=-\varkappa (T_{\mu \nu }{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)$
  
  Questa equazione di campo, con $\lambda$ sufficientemente piccolo, è in ogni caso compatibile con i fatti sperimentali relativi al sistema solare. Esso soddisfa anche ai princìpi conservazione dell'energia e della quantità di moto [...]. (pp. 371-372)

Explicit

La massa totale dell'universo, in accordo col nostro punto di vista è finita, ed è infatti

$M=2\pi ^{2}R^{3}\varrho =4\pi ^{2}{\frac {R}{\varkappa }}={\frac {\pi ^{2}{\sqrt {32}}}{\sqrt {\varkappa ^{3}\varrho }}}$.

Così la concezione teorica dell'effettivo universo, se è in corrispondenza col nostro ragionamento sarebbe la seguente. La curvatura dello spazio varia col posto e col tempo, in conformità della distribuzione della materia, ma possiamo darne un valore approssimato in grande per mezzo di uno spazio sferico. In ogni caso, questa concezione ha consistenza logica, e dal punto di vista della teoria della relatività generale è la più ovvia; non è qui il luogo di discutere se sia difendibile alla luce della presente conoscenza astronomica. Allo scopo di pervenire a una concezione coerente, abbiamo dovuto, a dire il vero, introdurre un'estensione delle equazioni del campo gravitazionale che non è giustificata dalla presente conoscenza della gravitazione stessa. Bisogna metter in risalto, tuttavia, che i nostri risultati danno una curvatura positiva dello spazio anche se non si introduce il termine supplementare; tale termine è necessario solo allo scopo di rendere possibile una distribuzione di materia pressoché statica, come è richiesto dal fatto che le stelle si muovono con piccole velocità.

Bibliografia

• Albert Einstein, Opere scelte, a cura di Enrico Bellone, traduzioni di AA.VV., Bollati Boringhieri, collana Pantheon, Torino, 1988. ISBN 978-88-339-0442-9
• Albert Einstein, Pensieri di un uomo curioso (The Quotable Einstein, 1996), a cura di Alice Calaprice, prefazione di Freeman Dyson, traduzione di Sylvie Coyaud, Arnoldo Mondadori Editore, Milano, 1997. ISBN 88-04-47479-3
• Walter Isaacson, Einstein: la sua vita, il suo universo (Einstein. His Life and Universe, 2007), traduzione di Tullio Cannillo, Mondadori, Milano, 2008. ISBN 978-88-04-58308-0

Altri progetti

Altri progetti

• Wikipedia

• Wikipedia contiene una voce riguardante gli Annus Mirabilis Papers

Altri progetti

• Wikipedia

• Wikipedia contiene una voce riguardante l'articolo Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento